Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $4$ es la matriz cuadrada $4 \times 4$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] - λ I_{4})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{4}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.5.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.9.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.10

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.10.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.10.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.12

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.12.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.12.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.13

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.13.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.13.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.14

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.14.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.14.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.15

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.15.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.15.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.16

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 2 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 2 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 2 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 & 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 2 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.4

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 2 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.5

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 2 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.6

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 2 + 0 & - 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 2 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.7

Suma $2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 2 & - 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 2 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.8

Suma $- 1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 2 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.9

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 - λ & 0 \\ 4 + 0 & - 2 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.10

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 - λ & 0 \\ 4 & - 2 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.11

Suma $- 2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 - λ & 0 \\ 4 & - 2 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.12

Suma $2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 - λ & 0 \\ 4 & - 2 & 2 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $4$ by its cofactor and add.

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Paso 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Paso 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.1.3

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 2 & - 1 & 3 - λ \\ 4 & - 2 & 2 \end{array} |$

Paso 5.1.4

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 2 & - 1 & 3 - λ \\ 4 & - 2 & 2 \end{array} |$

Paso 5.1.5

The minor for $a_{24}$ is the determinant with row $2$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 3 - λ \\ 4 & - 2 & 2 \end{array} |$

Paso 5.1.6

Multiply element $a_{24}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 3 - λ \\ 4 & - 2 & 2 \end{array} |$

Paso 5.1.7

The minor for $a_{34}$ is the determinant with row $3$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 4 & - 2 & 2 \end{array} |$

Paso 5.1.8

Multiply element $a_{34}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 4 & - 2 & 2 \end{array} |$

Paso 5.1.9

The minor for $a_{44}$ is the determinant with row $4$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 2 & - 1 & 3 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.10

Multiply element $a_{44}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 2 & - 1 & 3 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 2 & - 1 & 3 - λ \\ 4 & - 2 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 3 - λ \\ 4 & - 2 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 4 & - 2 & 2 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 2 & - 1 & 3 - λ \end{array} |$

Paso 5.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 2 & - 1 & 3 - λ \\ 4 & - 2 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 3 - λ \\ 4 & - 2 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 4 & - 2 & 2 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 2 & - 1 & 3 - λ \end{array} |$

Paso 5.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 3 - λ \\ 4 & - 2 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 4 & - 2 & 2 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 2 & - 1 & 3 - λ \end{array} |$

Paso 5.4

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 4 & - 2 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 2 & - 1 & 3 - λ \end{array} |$

Paso 5.5

Evalúa $| \begin{array}{c} 5 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 2 & - 1 & 3 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} |$

Paso 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(5 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} |$

Paso 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$

Paso 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$

Paso 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |$

Paso 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |$

Paso 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.5.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) ((3 - λ) (3 - λ) - - 0) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.2.1.1

Expande $(3 - λ) (3 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.5.3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (3 (3 - λ) - λ (3 - λ) - - 0) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (3 \cdot 3 + 3 (- λ) - λ (3 - λ) - - 0) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (3 \cdot 3 + 3 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - - 0) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.5.3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.3.2.1.2.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (9 + 3 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - - 0) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (9 - 3 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - - 0) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.1.2.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ - λ (- λ) - - 0) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - - 0) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.3.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - - 0) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - - 0) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - - 0) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ + λ^{2} - - 0) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.1.2.2

Resta $3 λ$ de $- 3 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (9 - 6 λ + λ^{2} - - 0) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.1.3

Multiplica $- - 0$ .

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Paso 5.5.3.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (9 - 6 λ + λ^{2} - 0) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (9 - 6 λ + λ^{2} + 0) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.2

Suma $9 - 6 λ + λ^{2}$ y $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (9 - 6 λ + λ^{2}) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.3

Mueve $9$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (- 6 λ + λ^{2} + 9) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.4

Reordena $- 6 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |)$

Paso 5.5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 2 & - 1 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9) + 0 - 1 (1 \cdot - 1 - 2 (3 - λ)))$

Paso 5.5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.5.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9) + 0 - 1 (- 1 - 2 (3 - λ)))$

Paso 5.5.4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9) + 0 - 1 (- 1 - 2 \cdot 3 - 2 (- λ)))$

Paso 5.5.4.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9) + 0 - 1 (- 1 - 6 - 2 (- λ)))$

Paso 5.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9) + 0 - 1 (- 1 - 6 + 2 λ))$

Paso 5.5.4.2.2

Resta $6$ de $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9) + 0 - 1 (- 7 + 2 λ))$

Paso 5.5.4.2.3

Reordena $- 7$ y $2 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9) + 0 - 1 (2 λ - 7))$

Paso 5.5.5

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.5.1

Suma $(5 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9)$ y $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9) - 1 (2 λ - 7))$

Paso 5.5.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.5.2.1

Expande $(5 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} + 5 (- 6 λ) + 5 \cdot 9 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9 - 1 (2 λ - 7))$

Paso 5.5.5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.5.2.2.1

Multiplica $- 6$ por $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} - 30 λ + 5 \cdot 9 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9 - 1 (2 λ - 7))$

Paso 5.5.5.2.2.2

Multiplica $5$ por $9$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} - 30 λ + 45 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9 - 1 (2 λ - 7))$

Paso 5.5.5.2.2.3

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.5.2.2.3.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} - 30 λ + 45 - (λ^{2} λ) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9 - 1 (2 λ - 7))$

Paso 5.5.5.2.2.3.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 5.5.5.2.2.3.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} - 30 λ + 45 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9 - 1 (2 λ - 7))$

Paso 5.5.5.2.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} - 30 λ + 45 - λ^{2 + 1} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9 - 1 (2 λ - 7))$

Paso 5.5.5.2.2.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} - 30 λ + 45 - λ^{3} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9 - 1 (2 λ - 7))$

Paso 5.5.5.2.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} - 30 λ + 45 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - λ \cdot 9 - 1 (2 λ - 7))$

Paso 5.5.5.2.2.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.5.2.2.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} - 30 λ + 45 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 (λ \cdot λ) - λ \cdot 9 - 1 (2 λ - 7))$

Paso 5.5.5.2.2.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} - 30 λ + 45 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ^{2} - λ \cdot 9 - 1 (2 λ - 7))$

Paso 5.5.5.2.2.6

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} - 30 λ + 45 - λ^{3} + 6 λ^{2} - λ \cdot 9 - 1 (2 λ - 7))$

Paso 5.5.5.2.2.7

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (5 λ^{2} - 30 λ + 45 - λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ - 1 (2 λ - 7))$

Paso 5.5.5.2.3

Suma $5 λ^{2}$ y $6 λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (11 λ^{2} - 30 λ + 45 - λ^{3} - 9 λ - 1 (2 λ - 7))$

Paso 5.5.5.2.4

Resta $9 λ$ de $- 30 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (11 λ^{2} - 39 λ + 45 - λ^{3} - 1 (2 λ - 7))$

Paso 5.5.5.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (11 λ^{2} - 39 λ + 45 - λ^{3} - 1 (2 λ) - 1 \cdot - 7)$

Paso 5.5.5.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (11 λ^{2} - 39 λ + 45 - λ^{3} - 2 λ - 1 \cdot - 7)$

Paso 5.5.5.2.7

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (11 λ^{2} - 39 λ + 45 - λ^{3} - 2 λ + 7)$

Paso 5.5.5.3

Resta $2 λ$ de $- 39 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (11 λ^{2} - 41 λ + 45 - λ^{3} + 7)$

Paso 5.5.5.4

Suma $45$ y $7$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (11 λ^{2} - 41 λ - λ^{3} + 52)$

Paso 5.5.5.5

Mueve $- 41 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (11 λ^{2} - λ^{3} - 41 λ + 52)$

Paso 5.5.5.6

Reordena $11 λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 41 λ + 52)$

Paso 5.6

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + 0 + (4 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 41 λ + 52)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1.1

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 41 λ + 52)$

Paso 5.6.1.2

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = 0 + (4 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 41 λ + 52)$

Paso 5.6.1.3

Suma $0$ y $(4 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 41 λ + 52)$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 41 λ + 52)$

Paso 5.6.2

Expande $(4 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 41 λ + 52)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 4 (- λ^{3}) + 4 (11 λ^{2}) + 4 (- 41 λ) + 4 \cdot 52 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.3.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 (11 λ^{2}) + 4 (- 41 λ) + 4 \cdot 52 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.2

Multiplica $11$ por $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} + 4 (- 41 λ) + 4 \cdot 52 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.3

Multiplica $- 41$ por $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 4 \cdot 52 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.4

Multiplica $4$ por $52$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.6

Multiplica $λ$ por $λ^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.3.6.1

Mueve $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.6.2

Multiplica $λ^{3}$ por $λ$ .

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Paso 5.6.3.6.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.6.3

Suma $3$ y $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 + 1 λ^{4} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.8

Multiplica $λ^{4}$ por $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 + λ^{4} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 + λ^{4} - 1 \cdot 11 λ \cdot λ^{2} - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.10

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.3.10.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 + λ^{4} - 1 \cdot 11 (λ^{2} λ) - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.10.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.3.10.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 + λ^{4} - 1 \cdot 11 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 + λ^{4} - 1 \cdot 11 λ^{2 + 1} - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.10.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 + λ^{4} - 1 \cdot 11 λ^{3} - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.11

Multiplica $- 1$ por $11$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 + λ^{4} - 11 λ^{3} - λ (- 41 λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.12

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 + λ^{4} - 11 λ^{3} - 1 \cdot - 41 λ \cdot λ - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.13

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.3.13.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 + λ^{4} - 11 λ^{3} - 1 \cdot - 41 (λ \cdot λ) - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.13.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 + λ^{4} - 11 λ^{3} - 1 \cdot - 41 λ^{2} - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.14

Multiplica $- 1$ por $- 41$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 + λ^{4} - 11 λ^{3} + 41 λ^{2} - λ \cdot 52$

Paso 5.6.3.15

Multiplica $52$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 + λ^{4} - 11 λ^{3} + 41 λ^{2} - 52 λ$

Paso 5.6.4

Resta $11 λ^{3}$ de $- 4 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 15 λ^{3} + 44 λ^{2} - 164 λ + 208 + λ^{4} + 41 λ^{2} - 52 λ$

Paso 5.6.5

Suma $44 λ^{2}$ y $41 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 15 λ^{3} + 85 λ^{2} - 164 λ + 208 + λ^{4} - 52 λ$

Paso 5.6.6

Resta $52 λ$ de $- 164 λ$ .

$p (λ) = - 15 λ^{3} + 85 λ^{2} - 216 λ + 208 + λ^{4}$

Paso 5.6.7

Mueve $208$ .

$p (λ) = - 15 λ^{3} + 85 λ^{2} - 216 λ + λ^{4} + 208$

Paso 5.6.8

Mueve $- 216 λ$ .

$p (λ) = - 15 λ^{3} + 85 λ^{2} + λ^{4} - 216 λ + 208$

Paso 5.6.9

Mueve $85 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 15 λ^{3} + λ^{4} + 85 λ^{2} - 216 λ + 208$

Paso 5.6.10

Reordena $- 15 λ^{3}$ y $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 15 λ^{3} + 85 λ^{2} - 216 λ + 208$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{4} - 15 λ^{3} + 85 λ^{2} - 216 λ + 208 = 0$

Paso 7

Resuelve $λ$

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Paso 7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Factoriza $λ^{4} - 15 λ^{3} + 85 λ^{2} - 216 λ + 208$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 7.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 208, \pm 2, \pm 104, \pm 4, \pm 52, \pm 8, \pm 26, \pm 13, \pm 16$

$q = \pm 1$

Paso 7.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 208, \pm 2, \pm 104, \pm 4, \pm 52, \pm 8, \pm 26, \pm 13, \pm 16$

Paso 7.1.1.3

Sustituye $4$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $4$ es una raíz del polinomio.

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Paso 7.1.1.3.1

Sustituye $4$ en el polinomio.

$4^{4} - 15 \cdot 4^{3} + 85 \cdot 4^{2} - 216 \cdot 4 + 208$

Paso 7.1.1.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$256 - 15 \cdot 4^{3} + 85 \cdot 4^{2} - 216 \cdot 4 + 208$

Paso 7.1.1.3.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$256 - 15 \cdot 64 + 85 \cdot 4^{2} - 216 \cdot 4 + 208$

Paso 7.1.1.3.4

Multiplica $- 15$ por $64$ .

$256 - 960 + 85 \cdot 4^{2} - 216 \cdot 4 + 208$

Paso 7.1.1.3.5

Resta $960$ de $256$ .

$- 704 + 85 \cdot 4^{2} - 216 \cdot 4 + 208$

Paso 7.1.1.3.6

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- 704 + 85 \cdot 16 - 216 \cdot 4 + 208$

Paso 7.1.1.3.7

Multiplica $85$ por $16$ .

$- 704 + 1360 - 216 \cdot 4 + 208$

Paso 7.1.1.3.8

Suma $- 704$ y $1360$ .

$656 - 216 \cdot 4 + 208$

Paso 7.1.1.3.9

Multiplica $- 216$ por $4$ .

$656 - 864 + 208$

Paso 7.1.1.3.10

Resta $864$ de $656$ .

$- 208 + 208$

Paso 7.1.1.3.11

Suma $- 208$ y $208$ .

$0$

Paso 7.1.1.4

Como $4$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $λ - 4$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{λ^{4} - 15 λ^{3} + 85 λ^{2} - 216 λ + 208}{λ - 4}$

Paso 7.1.1.5

Divide $λ^{4} - 15 λ^{3} + 85 λ^{2} - 216 λ + 208$ por $λ - 4$ .

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Paso 7.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

Paso 7.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $λ^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

Paso 7.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$λ^{3}$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

Paso 7.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $λ^{4} - 4 λ^{3}$ .

$λ^{3}$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

Paso 7.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$λ^{3}$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$11 λ^{3}$

Paso 7.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$λ^{3}$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$11 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

Paso 7.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 11 λ^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$11 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

Paso 7.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$11 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$11 λ^{3}$

$44 λ^{2}$

Paso 7.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 11 λ^{3} + 44 λ^{2}$ .

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$11 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$11 λ^{3}$

$44 λ^{2}$

Paso 7.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$11 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$11 λ^{3}$

$44 λ^{2}$

$41 λ^{2}$

Paso 7.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$11 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$11 λ^{3}$

$44 λ^{2}$

$41 λ^{2}$

$216 λ$

Paso 7.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $41 λ^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$41 λ$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$11 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$11 λ^{3}$

$44 λ^{2}$

$41 λ^{2}$

$216 λ$

Paso 7.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$41 λ$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$11 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$11 λ^{3}$

$44 λ^{2}$

$41 λ^{2}$

$216 λ$

$41 λ^{2}$

$164 λ$

Paso 7.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $41 λ^{2} - 164 λ$ .

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$41 λ$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$11 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$11 λ^{3}$

$44 λ^{2}$

$41 λ^{2}$

$216 λ$

$41 λ^{2}$

$164 λ$

Paso 7.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$41 λ$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$11 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$11 λ^{3}$

$44 λ^{2}$

$41 λ^{2}$

$216 λ$

$41 λ^{2}$

$164 λ$

$52 λ$

Paso 7.1.1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$41 λ$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$11 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$11 λ^{3}$

$44 λ^{2}$

$41 λ^{2}$

$216 λ$

$41 λ^{2}$

$164 λ$

$52 λ$

$208$

Paso 7.1.1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 52 λ$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$41 λ$

$52$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$11 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$11 λ^{3}$

$44 λ^{2}$

$41 λ^{2}$

$216 λ$

$41 λ^{2}$

$164 λ$

$52 λ$

$208$

Paso 7.1.1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$41 λ$

$52$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$11 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$11 λ^{3}$

$44 λ^{2}$

$41 λ^{2}$

$216 λ$

$41 λ^{2}$

$164 λ$

$52 λ$

$208$

$52 λ$

$208$

Paso 7.1.1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 52 λ + 208$ .

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$41 λ$

$52$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$11 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$11 λ^{3}$

$44 λ^{2}$

$41 λ^{2}$

$216 λ$

$41 λ^{2}$

$164 λ$

$52 λ$

$208$

$52 λ$

$208$

Paso 7.1.1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$41 λ$

$52$

$λ$

$4$

$λ^{4}$

$15 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$216 λ$

$208$

$λ^{4}$

$4 λ^{3}$

$11 λ^{3}$

$85 λ^{2}$

$11 λ^{3}$

$44 λ^{2}$

$41 λ^{2}$

$216 λ$

$41 λ^{2}$

$164 λ$

$52 λ$

$208$

$52 λ$

$208$

$0$

Paso 7.1.1.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$λ^{3} - 11 λ^{2} + 41 λ - 52$

Paso 7.1.1.6

Escribe $λ^{4} - 15 λ^{3} + 85 λ^{2} - 216 λ + 208$ como un conjunto de factores.

$(λ - 4) (λ^{3} - 11 λ^{2} + 41 λ - 52) = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza $λ^{3} - 11 λ^{2} + 41 λ - 52$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.2.1

Factoriza $λ^{3} - 11 λ^{2} + 41 λ - 52$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.2.1.1

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1$

Paso 7.1.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

Paso 7.1.2.1.3

Sustituye $4$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $4$ es una raíz del polinomio.

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Paso 7.1.2.1.3.1

Sustituye $4$ en el polinomio.

$4^{3} - 11 \cdot 4^{2} + 41 \cdot 4 - 52$

Paso 7.1.2.1.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$64 - 11 \cdot 4^{2} + 41 \cdot 4 - 52$

Paso 7.1.2.1.3.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$64 - 11 \cdot 16 + 41 \cdot 4 - 52$

Paso 7.1.2.1.3.4

Multiplica $- 11$ por $16$ .

$64 - 176 + 41 \cdot 4 - 52$

Paso 7.1.2.1.3.5

Resta $176$ de $64$ .

$- 112 + 41 \cdot 4 - 52$

Paso 7.1.2.1.3.6

Multiplica $41$ por $4$ .

$- 112 + 164 - 52$

Paso 7.1.2.1.3.7

Suma $- 112$ y $164$ .

$52 - 52$

Paso 7.1.2.1.3.8

Resta $52$ de $52$ .

$0$

Paso 7.1.2.1.4

Como $4$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $λ - 4$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{λ^{3} - 11 λ^{2} + 41 λ - 52}{λ - 4}$

Paso 7.1.2.1.5

Divide $λ^{3} - 11 λ^{2} + 41 λ - 52$ por $λ - 4$ .

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Paso 7.1.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$λ$

$4$

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$41 λ$

$52$

Paso 7.1.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $λ^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$4$		$λ^{3}$	-	$11 λ^{2}$	+	$41 λ$	-	$52$

Paso 7.1.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$4$		$λ^{3}$	-	$11 λ^{2}$	+	$41 λ$	-	$52$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$

Paso 7.1.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $λ^{3} - 4 λ^{2}$ .

				$λ^{2}$
$λ$	-	$4$		$λ^{3}$	-	$11 λ^{2}$	+	$41 λ$	-	$52$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$

Paso 7.1.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$4$		$λ^{3}$	-	$11 λ^{2}$	+	$41 λ$	-	$52$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$

Paso 7.1.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$4$		$λ^{3}$	-	$11 λ^{2}$	+	$41 λ$	-	$52$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$41 λ$

Paso 7.1.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 7 λ^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$7 λ$
$λ$	-	$4$		$λ^{3}$	-	$11 λ^{2}$	+	$41 λ$	-	$52$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$41 λ$

Paso 7.1.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$λ^{2}$	-	$7 λ$
$λ$	-	$4$		$λ^{3}$	-	$11 λ^{2}$	+	$41 λ$	-	$52$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$41 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$

Paso 7.1.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 7 λ^{2} + 28 λ$ .

				$λ^{2}$	-	$7 λ$
$λ$	-	$4$		$λ^{3}$	-	$11 λ^{2}$	+	$41 λ$	-	$52$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$41 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$

Paso 7.1.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$λ^{2}$	-	$7 λ$
$λ$	-	$4$		$λ^{3}$	-	$11 λ^{2}$	+	$41 λ$	-	$52$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$41 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$13 λ$

Paso 7.1.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$λ^{2}$	-	$7 λ$
$λ$	-	$4$		$λ^{3}$	-	$11 λ^{2}$	+	$41 λ$	-	$52$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$41 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$13 λ$	-	$52$

Paso 7.1.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $13 λ$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$7 λ$	+	$13$
$λ$	-	$4$		$λ^{3}$	-	$11 λ^{2}$	+	$41 λ$	-	$52$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$41 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$13 λ$	-	$52$

Paso 7.1.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$λ^{2}$	-	$7 λ$	+	$13$
$λ$	-	$4$		$λ^{3}$	-	$11 λ^{2}$	+	$41 λ$	-	$52$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$41 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$13 λ$	-	$52$
							+	$13 λ$	-	$52$

Paso 7.1.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $13 λ - 52$ .

				$λ^{2}$	-	$7 λ$	+	$13$
$λ$	-	$4$		$λ^{3}$	-	$11 λ^{2}$	+	$41 λ$	-	$52$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$41 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$13 λ$	-	$52$
							-	$13 λ$	+	$52$

Paso 7.1.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$λ^{2}$	-	$7 λ$	+	$13$
$λ$	-	$4$		$λ^{3}$	-	$11 λ^{2}$	+	$41 λ$	-	$52$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$
					-	$7 λ^{2}$	+	$41 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$
							+	$13 λ$	-	$52$
							-	$13 λ$	+	$52$
										$0$

Paso 7.1.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$λ^{2} - 7 λ + 13$

Paso 7.1.2.1.6

Escribe $λ^{3} - 11 λ^{2} + 41 λ - 52$ como un conjunto de factores.

$(λ - 4) ((λ - 4) (λ^{2} - 7 λ + 13)) = 0$

Paso 7.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(λ - 4) (λ - 4) (λ^{2} - 7 λ + 13) = 0$

Paso 7.1.3

Combina factores semejantes.

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Paso 7.1.3.1

Eleva $λ - 4$ a la potencia de $1$ .

$(λ - 4) (λ - 4) (λ^{2} - 7 λ + 13) = 0$

Paso 7.1.3.2

Eleva $λ - 4$ a la potencia de $1$ .

$(λ - 4) (λ - 4) (λ^{2} - 7 λ + 13) = 0$

Paso 7.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(λ - 4)}^{1 + 1} (λ^{2} - 7 λ + 13) = 0$

Paso 7.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

${(λ - 4)}^{2} (λ^{2} - 7 λ + 13) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(λ - 4)}^{2} = 0$

$λ^{2} - 7 λ + 13 = 0$

Paso 7.3

Establece ${(λ - 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 7.3.1

Establece ${(λ - 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(λ - 4)}^{2} = 0$

Paso 7.3.2

Resuelve ${(λ - 4)}^{2} = 0$ en $λ$ .

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Paso 7.3.2.1

Establece $λ - 4$ igual a $0$ .

$λ - 4 = 0$

Paso 7.3.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 4$

Paso 7.4

Establece $λ^{2} - 7 λ + 13$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 7.4.1

Establece $λ^{2} - 7 λ + 13$ igual a $0$ .

$λ^{2} - 7 λ + 13 = 0$

Paso 7.4.2

Resuelve $λ^{2} - 7 λ + 13 = 0$ en $λ$ .

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Paso 7.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 7$ y $c = 13$ en la fórmula cuadrática y resuelve $λ$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3

Simplifica.

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Paso 7.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.2.3.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$λ = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Paso 7.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $13$ .

$λ = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 52}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.3

Resta $52$ de $49$ .

$λ = \frac{7 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$λ = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$λ = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$λ = \frac{7 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$λ = \frac{7 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$λ = \frac{7 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(λ - 4)}^{2} (λ^{2} - 7 λ + 13) = 0$ verdadera.

$λ = 4, \frac{7 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - i \sqrt{3}}{2}$